Αρχειοθήκη ιστολογίου

Δευτέρα, 24 Οκτωβρίου 2016

Κλάσματα


 Για περισσότερη εξάσκηση και παιχνίδια με τα κλάσματα πάτα:
http://eclass31.weebly.com/kappalambda940sigmamualphataualpha.html#.WCrS1_QWmZk



 Κλάσματα

7/9, αριθμητής: 7    και παρονομαστής: 9
Ο παρονομαστής σε ένα κλάσμα φανερώνει σε πόσα ίσα μέρη χωρίσαμε μια ακέραιη μονάδα.
Ο αριθμητής σε ένα κλάσμα φανερώνει πόσα μέρη πήραμε μετά από τον χωρισμό της ακέραιης μονάδας.

Γνήσιο κλάσμα: όταν ο αριθμητής είναι μικρότερος από τον παρονομαστή
Πχ 2/4, 6/7, 23/100

Κλασματική μονάδα: όταν αριθμητής είναι το 1
Πχ  ¼, 1/6, 1/15
Οι κλασματικές μονάδες είναι γνήσια κλάσματα.

Κλάσμα ισοδύναμο με τη μονάδα (με το ΟΛΟ ) : όταν αριθμητής και παρονομαστής είναι ο ίδιος αριθμός
Πχ 2/2, 4/4, 23/23

Καταχρηστικά κλάσματα:  όταν ο αριθμητής είναι  μεγαλύτερος από τον παρονομαστή
Πχ  9/4, 15/3, 22/7



Δεκαδικό κλάσμα: ονομάζουμε κάθε κλάσμα με παρονομαστή το 10,100,1000....
Πχ 3/10,  22/100,  346/1000,  3500/10000


Σύγκριση κλασμάτων
Σε μια σειρά από κλάσματα που έχουν ίδιο παρονομαστή, μεγαλύτερο είναι το κλάσμα που έχει τον πιο μεγάλο αριθμητή και μικρότερο είναι το κλάσμα που έχει τον μικρότερο αριθμητή
Πχ  8/12, 6/12, 3/12, 4/12, 9/12
Μεγαλύτερο 9/12
Μικρότερο 3/12

Σε μια σειρά από κλάσματα που έχουν ίδιο αριθμητή και διαφορετικό παρονομαστή, μεγαλύτερο είναι αυτό με τον μικρότερο παρονομαστή και μικρότερο αυτό με τον μεγαλύτερο παρονομαστή.
Πχ 3/10, 3/12, 3/9, 3/6, 3/5, 3/25
Μεγαλύτερο 3/5
Μικρότερο 3/25

Η σύγκριση κλασμάτων με διαφορετικό αριθμητή και διαφορετικό παρονομαστή δεν είναι τόσο ευκρινής.
(Για αυτό το λόγο, μετατρέπουμε τα ετερώνυμα κλάσματα  -αυτά που έχουν δηλαδή διαφορετικό παρονομαστή-  σε ομώνυμα -σε κλάσματα δηλαδή που έχουν ίδιο παρονομαστή. Τη διαδικασία μετατροπής από ετερώνυμα σε ομώνυμα θα εξετάσουμε αργότερα.)




Ισοδύναμα κλάσματα

Ισοδύναμα λέμε τα κλάσματα που έχουν την ίδια αξία πχ
1/2 =2/4 = 4/8

Με δυο τρόπους μπορούμε από ένα κλάσμα να δημιουργήσουμε ισοδύναμά του.

  • ·         Με πολλαπλασιασμό: πολλαπλασιάζουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή με τον ίδιο αριθμό.  
Πχ 1/2 =1*2/2*2 =2/4

  • ·         Με διαίρεση: διαιρούμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή με τον ίδιο αριθμό. Εδώ θα πρέπει να προσέξουμε. Ο αριθμός αυτός να διαιρεί ακριβώς και τον αριθμητή. Στην περίπτωση αυτή μιλάμε για απλοποίηση κλασμάτων.
Πχ 6/9=6:3/9:3=2/3
4/8=4:2/8:2= 2/4
Μπορώ να συνεχίσω την απλοποίηση 2/4= 2:2/4:2 = 1/2
Όταν δεν απλοποιείται άλλο ένα κλάσμα το ονομάζουμε ανάγωγο κλάσμα. Οπότε στα παραπάνω παραδείγματα, το 2/3 και το 1/2 είναι ανάγωγα κλάσματα.

Εξάλλου, απλοποίηση κλασμάτων κάνουμε σίγουρα όταν στον αριθμητή και στον παρονομαστή οι αριθμοί τελειώνουν σε 0. Όσα μηδενικά σβήνουμε από τον αριθμητή, τόσα σβήνουμε και από τον παρονομαστή. Διαιρούμε δηλαδή τον αριθμητή και τον παρονομαστή με το 10, το 100 ή το 1000… Πχ
1200/2000
Εδώ έχουμε 2 μηδενικά στον αριθμητή και 2 στον παρονομαστή. Οπότε διαιρούμε αριθμητή και παρονομαστή με το 100 ή πιο απλά σβήνουμε 2 μηδενικά και στον αριθμητή και στον παρονομαστή.
 1200/2000 =(1200:100)/(2000:100)= 12/20



Ομώνυμα και ετερώνυμα
Ομώνυμα λέμε τα κλάσματα που έχουν τον ίδιο παρονομαστή
Πχ 3/8, 2/8, 4/8, 6/8
Ετερώνυμα λέμε τα κλάσματα που έχουν διαφορετικό παρονομαστή
Πχ 3/8, 2/12, 4/12, 4/16, 3/5


Πράξεις κλασμάτων
Μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε ή να διαιρέσουμε εύκολα ομώνυμα ή ετερώνυμα κλάσματα.

Για να κάνουμε όμως σύγκριση, πρόσθεση ή αφαίρεση κλασμάτων θα πρέπει τα κλάσματα να είναι απαραίτητα ομώνυμα. Εάν δεν είναι, τα μετατρέπουμε σε ομώνυμα. (Τη διαδικασία μετατροπής σε ομώνυμα θα εξετάσουμε αργότερα).

Πολλαπλασιασμός κλασμάτων
·         Πολλαπλασιασμός κλάσμα με κλάσμα:
Πολλαπλασιάζουμε αριθμητή με αριθμητή και παρονομαστή με παρονομαστή.
Πχ 2/6*3/4=2*3/6*4=6/24

·         Πολλαπλασιασμός κλάσμα με ακέραιο:
Το πρώτο που κάνουμε σε αυτή την περίπτωση είναι να μετατρέψουμε τον ακέραιο σε κλάσμα.
Τραβάμε κάτω από τον ακέραιο την κλασματική γραμμή και βάζουμε παρονομαστή την μονάδα.
Πχ 4=4/1
Έπειτα κάνουμε κανονικά τον πολλαπλασιασμό μας.
Πχ 2/3*4=2/3*4/1=2*4/3*1=8/3



Διαίρεση κλασμάτων
·         Διαίρεση κλάσμα με κλάσμα
Για κάνουμε τη διαίρεση αυτή, αντιστρέφουμε τους όρους του δεύτερου κλάσματος (διαιρέτη) και αντί για διαίρεση κάνουμε πολλαπλασιασμό.
Πχ  3/5 : 2/3=3/5 *3/2=3*3/5*2=9/10
·         Διαίρεση κλάσμα με ακέραιο
Μετατρέπουμε τον ακέραιο σε κλάσμα (με παρονομαστή το 1) και κάνουμε τη διαίρεσή μας.
Πχ 2/4:3=2/4:3/1=2/4*1/3=2*1/4*3=2/12


Προσθαφαίρεση κλασμάτων

                                i.            Πρόσθεση και αφαίρεση ομώνυμων:
Πρόσθεση ομώνυμων κλασμάτων
Για να προσθέσουμε δυο ή περισσότερα ομώνυμα κλάσματα, προσθέτουμε τους αριθμητές και αφήνουμε ίδιο τον παρονομαστή.
Πχ 2/8+3/8+1/8=6/8

Αφαίρεση ομώνυμων κλασμάτων
Για να αφαιρέσουμε δυο ομώνυμα κλάσματα, αφαιρούμε τους αριθμητές και αφήνουμε ίδιο τον παρονομαστή.
Πχ 6/9-2/9=4/9

                             ii.            Πρόσθεση και αφαίρεση ετερώνυμων:
Μετατρέπουμε τα ετερώνυμα σε ομώνυμα και προσθέτουμε ή αφαιρούμε όπως ξέρουμε, δηλαδή μόνον αριθμητές.



Μετατροπή ετερώνυμων σε ομώνυμα
Έχουμε  κλάσματα 2/3, ¼, 5/6
1ο βήμα: Βρίσκουμε το ΕΚΠ των παρονομαστών.
3
4
6
2
3
2
3
2
3
1
3
3
1
1
1


2*2*3=12
ΕΚΠ: 12
2ο βήμα: Βάζουμε ‘καπελάκι’ πάνω από κάθε κλάσμα. Διαιρούμε το ΕΚΠ με τον παρονομαστή κάθε κλάσματος. Το πηλίκο κάθε διαίρεσης το γράφουμε στο αντίστοιχο καπελάκι.
2/3     12:3=4    καπελάκι : *4
¼        12:4=3    καπελάκι : *3
5/6     12:6=2   καπελάκι : *2
3ο βήμα: Πολλαπλασιάζουμε τον αριθμό που βρίσκεται στο καπελάκι με τον αριθμητή και τον παρονομαστή του αντίστοιχου κλάσματος. Τα κλάσματά μας έχουν πλέον μετατραπεί σε ομώνυμα.
2/3=2*4/3*4=8/12
¼=1*3/4*3=3/12
5/6=5*2/6*2=10/12



Εφαρμογή πρόσθεσης ετερώνυμων κλασμάτων
Ξέρουμε ότι για να προσθέσουμε ή να αφαιρέσουμε ετερώνυμα κλάσματα, τα μετατρέπουμε πρώτα σε ομώνυμα και μετά κάνουμε την πράξη μας.
Έχουμε  λοιπόν να προσθέσουμε τα κλάσματα:
2/3+ 1/4 +5/6
Μετατροπή σε ομώνυμα
3
4
6
2
3
2
3
2
3
1
3
3
1
1
1

2*2*3=12ΕΚΠ: 12

2/3     12:3=4    καπελάκι : *4
1/4     12:4=3    καπελάκι : *3
5/6     12:6=2   καπελάκι : *2

2/3=2*4/3*4=8/12
1/4=1*3/4*3=3/12
5/6=5*2/6*2=10/12

Οπότε 2/3+ 1/4 +5/6 = 8/12+3/12+10/12 = 21/12



Μεικτός αριθμός
Μεικτός λέγεται ο αριθμός που έχει ένα ακέραιο μέρος και ένα κλασματικό μέρος.
Πχ   2 ¼
Μετατροπή ‘καταχρηστικού’ κλάσματος σε μεικτό
Όλα τα καταχρηστικά κλάσματα μπορούμε να τα μετατρέψουμε σε μεικτούς αριθμούς ή ακέραιους αριθμούς. Διαιρούμε τον αριθμητή δια του παρονομαστή. Το πηλίκο γράφουμε σε ακέραια μορφή. Αν υπάρχει υπόλοιπο, το βάζουμε σαν αριθμητή του κλασματικού μέρους, ενώ παρονομαστής μπαίνει ο διαιρέτης.
Πχ 9/4 
9:4=2  με υ=1
Οπότε 9/4=2 ¼
Μετατροπή μεικτού σε κλάσμα
Για να μετατρέψουμε ένα μεικτό αριθμό σε κλάσμα κάνουμε το εξής:
Πολλαπλασιάζουμε τον παρονομαστή του κλασματικού μέρους με τον ακέραιο. Έπειτα το γινόμενο αυτό το προσθέτουμε στον αριθμητή του κλάσματος. Αυτό που θα βρούμε το βάζουμε σαν αριθμητή και αφήνουμε παρονομαστή τον ίδιο.
Πχ 2 ¼ 
(2*4)+1/4=8+1/4=9/4
Το κλάσμα που προκύπτει από τη μετατροπή μεικτού σε κλάσμα είναι καταχρηστικό.
Πράξεις με μεικτούς
Όταν έχουμε να προσθέσουμε, αφαιρέσουμε, πολλαπλασιάσουμε ή διαιρέσουμε μεικτούς με μεικτούς ή μεικτούς με απλά κλάσματα, τότε το πρώτο που κάνουμε είναι να μετατρέψουμε τους μεικτούς σε απλά κλάσματα. Έπειτα κάνουμε κανονικά την πράξη που έχουμε μπροστά μας, όπως έχουμε μάθει. Εάν το αποτέλεσμα της πράξης προκύψει καταχρηστικό κλάσμα, τότε το μετατρέπουμε πάντα σε μεικτό αριθμό.
Πχ 2  ¼  + 2/6 + 1/3                 ΕΚΠ=12
2 ¼ =9/4=9*3/4*3= 27/12
2/6 = 2*2/6*2=4/12
1/3=1*4/3*4 =4/12
Προσθέτω: 27/12+4/12+4/12=27+4+4/12=35/12
Μετατρέπω το καταχρηστικό σε μεικτό: 35:12= 2 και 11/12






Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου